本书旨在比较全面的介绍测地流的动力学基本理论和重要课题,内容包括：测地流的基本理论及有关的微分几何和动力系统基础知识,负曲率黎曼流形上测地流的双曲性、遍历性,测地流系统的熵理论,Liouville可积测地流理论,极小测地线的动力学理论.此外,书中还对当代测地流的动力学理论中的前沿问题进行了梳理.本书的部分内容取自作者的相关研究成果,同时参考了国外已有的测地流理论的专著及相关的论文文献资料,力求全面展现测地流的动力学理论的完整风貌.
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目录
前言
第1章 黎曼几何、动力系统与测地流 1
1.1 黎曼几何 1
1.1.1 测地线及其性质 1
1.1.2 曲率算子与Jacobi场 9
1.2 辛几何与哈密顿系统 17
1.2.1 辛空间、辛流形与Darboux定理 17
1.2.2 哈密顿系统与Liouville-Arnold定理 35
1.3 拉格朗日系统、哈密顿系统与测地流 48
第2章 测地流的一致双曲性 53
2.1 Poincare上半平面H上的测地流和Horocycle流 53
2.1.1 H上的双曲度量 53
2.1.2 H和SH上的PSL(2，R)-作用 57
2.1.3 测地流、Horocycle流及其与SH上的PSL(2，R)-作用的关系 59
2.2 负曲率黎曼流形的测地流 68
2.2.1 切丛的几何学：Sasaki度量，Jacobi场与辛结构 68
2.2.2 指标引理与比较定理 77
2.2.3 测地流的一致双曲性 93
2.3 曲面上有横截同宿联络的测地流 103
第3章 测地流的遍历性 111
3.1 负曲率流形上测地流的遍历性 111
3.1.1 稳定与不稳定分布的Holder连续性 111
3.1.2 稳定与不稳定叶层的绝对连续性 114
3.1.3 遍历性的证明 119
3.2 测地流中的Pesin理论与遍历性猜想 120
3.2.1 非正曲率流形上测地流的正则子集 121
3.2.2 Pesin理论 126
3.2.3 非正曲率流形上测地流的遍历性猜想 131
3.3 某类非正曲率曲面上测地流的遍历性 131
第4章 测地流的拓扑熵和测度熵 141
4.1 流形的几何与测地流的拓扑熵：Manning不等式 141
4.2 流形的拓扑与测地流的拓扑熵：Dinaburg定理 152
4.3 测地流的Liouville测度熵：Pesin熵公式 157
4.4 测地流的熵的刚性：Katok熵猜想 163
4.5 测地流的熵可扩性 176
第5章 测地流的Liouville可积性 187
5.1 Liouville可积测地流的两个例子 187
5.2 测地流Liouville可积的拓扑障碍 190
5.3 拓扑熵为零的光滑Liouville可积测地流 193
5.4 拓扑熵为正的光滑Liouville可积测地流 201
5.5 自然哈密顿系统的异宿轨道 206
第6章 极小测地线与测地流的Mather理论 221
6.1 极小测地线 221
6.2 闭测地线及极小闭测地线 223
6.3 测地流的Mather理论 230
6.3.1 正定拉格朗日系统的极小轨道 231
6.3.2 极小测度与旋转向量 235
6.3.3 基本性质 238
6.3.4 关于极小测地线的一些基本结论 241
6.4 环面上的极小测地线 245
6.5 高亏格曲面上测地流的Mather理论 254
6.5.1 高亏格曲面上闭曲线的拓扑性质 255
6.5.2 具有有理旋转向量的极小轨道和极小测度 259
第7章 未解决的问题和注记 270
7.1 未解决的问题 270
7.2 关于文献的注记 273
参考文献 276
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