本书涉及有关自然数的本体论和认识论的基本问题。十九世纪后半叶，多位数学思考者、哲学思考者围绕自然数这一概念展开过一系列探索。其结果各有所长、各有千秋，但都不尽如人意。原因在于人们只注意到自然数的有限基数特点而疏忽了自然的实在的刚性的序特点。我国古代充满智慧的先人们则早已驾轻就熟地应用这种序结构来表达思想。 本书试图从自然界的序现象出发，结合我国古代先人应用序的智慧，阐明这种几乎无处不在的序结构如同到处可见的几何结构一样，是人类一种来自生活经验的认识之源，有关自然数及其运算律的认识也和有关几何知识的认识一样源于对客观世界的感知。本书试图以严格的数学方式来论证自然数这一概念从其依赖的本源到抽象独立出来，成为柏拉图所说的永恒之物的自然和典型的思维路径，以及从自然数到实数的根本发展途径的典型性，从而对有关数概念的一些认识论问题提出具有说服力的见解。
本书是数学哲学方面的一本论著，涉及有关自然数的本体论和认识论的基本问题。十九世纪后半叶，多位数学思考者、哲学思考者围绕自然数这一概念展开过一系列探索。其结果各有所长、各有千秋，但都不尽如人意。原因在于人们只注意到自然数的有限基数特点而疏忽了自然的实在的刚性的序特点。我国古代智慧的先人们则早已驾轻就熟地应用这种序结构来表达思想。
本书试图从自然界的序现象出发，结合我国古代先人应用序的智慧，阐明这种几乎无处不在的序结构如同到处可见的几何结构一样，是人类一种来自生活经验的认识之源，有关自然数及其运算律的认识也和有关几何知识的认识一样来源于对客观世界的感知。本书试图以严格的数学方式来论证自然数这一概念从其依赖的本源到抽象独立出来，成为柏拉图所说的永恒之物的自然和典型的思维路径，以及从自然数到实数的根本发展途径的典型性，从而对有关数这一概念的一些认识论问题提出具有说服力的见解。
Humanity always arithmetizes.
人类总是算术化。
戴德金，《何为数，何当为数？》
几乎每一个人自幼开始就学着数数、认数。可以说从小开始，自然数就是大家日常打交道的对象之一。到上小学的时候，我们不仅更为熟练地数数、认数，更是花不少时间学习如何计算各种各样的数值等式和大小比较的不等式，学习算术加法和乘法的交换律、结合律、分配律，等等。可是，何为数？何当为数？这里的问题不仅涉及有关数的本体论和认识论的问题，涉及关于数的语义解释以及真假判定问题，还涉及数学的基础问题。这不仅是戴德金问过的问题，事实上也是一个自古希腊开始无数思想者都问过的问题。他们不仅发问，而且也都各抒己见，从不同的角度对这样的问题给出自己的解答。很明显，这样的问题也和其他哲学问题一样是开放型问题，是那种很难有完全令人信服的终极答案的问题。纵观迄今为止的所有具有代表性的解答，许多涉及根本的解答的确各有不尽如人意之处。尤其是，自然数这一概念究竟来自何处？到底是先验的，还是后验的？算术律的真性到底是由什么确定的？依据是什么？这些问题似乎依旧还有值得进一步深究的地方。
在这里，本书试图以自然界中自然产生的序现象为本，从我国古代先人们智慧地应用序的事例出发，将自然数解释为自然离散线性序序结构在序同构分类下的序型，将自然数之间的大小比较还原成自然离散线性序之间的嵌入比较关系，将自然数加法还原成具体的自然离散线性序序结构之间的线性序聚合，将自然数乘法还原成具体的自然离散线性序序结构之间的双线性序整合。而这种序的聚合与整合早已被我国古代先贤们驾轻就熟地使用。当本书将这些事实系统性地、严格地展现出来的时候，前面提到的一些问题的一种典型答案似乎应当明显地跃然纸上。
在这个基础上，本书沿着数概念延展的历史轨迹，试图说明在数学中像数这样的基本概念是如何因为解决现实世界实际问题的需要，而沿着一条（无论是从逻辑的角度看还是从现实发展的角度看）典型的路径被不断延拓，以及这种数概念的典型延拓又怎样内在地激励着数学自身向前发展。在这里的解释中隐含着的是一些数学中典型的思维方法。对此，我们不想过多言说，因为真正的美更多的是尽在不言。
虽然本书讨论的是数学哲学的问题，但我可能不习惯对关于这些问题的其他说法发表自己的看法。理由是在数学中，在自然科学中，思想者普遍奉行的是立字当头，破在其中；有道理，把道理讲清楚了，其他的就留给愿意对比或评判的读者。我大约也希望就算涉及的是哲学问题，我也只是努力把我能够说清楚的讲明白就好，对于任何其他说法，我都尊重，不必多言。唯一例外的是关于现代结构论者的一段宣言我会谨慎地提出自己的不同见解（详见第1章结尾段落）。
本书将在绪论中扼要地呈现弗雷格（1884年）、赫尔姆霍兹（1887年）、克罗内克（1887年）、戴德金（1888年）以及皮亚诺（1889年）关于自然数的论述，以展开本书的话题；在这一章的后半部分，本书将试图明确必要的假设，并希望以此来明确本书的立足点和基本想法以及本书试图说明的主要观点。
第2章引进一系列来自生活中的实例，并借助它们引进本书所需要的基本数学概念：等价关系、关联准线性序、商线性序以及自然离散线性序；进而试图对自然离散线性序给出一种来自生活的规范性的表示。
第3章引进序同构与序嵌入，从而定义自然离散线性序的序型并揭示它们的刚性；结合我国先人们的智慧，本书会讨论如何将算术运算还原到序型的聚合与整合问题中，从而讨论序型算术律及其真性问题，等等。
第4章讨论正分数的典型性来历，试图将正分数数值等式以及正分数算术律的真性与实际应用中的解释有效性关联起来。
第5章沿着从几何量到正无理数以及实数轴发展的历史轨迹，重现数概念演变延拓的典型路径。
第6章解释为了满足什么样的需要，实数概念又怎样被延展到向量概念以及矩阵概念；同时，本章还将展示如何将物理上的实际操作用数学上的运算（函数）恰当地表示出来。本章试图说明的是：之所以数学会在自然科学中有如此功能性的广泛应用，就在于数学中的典型对象（函数）原本就来自对实际操作的恰到好处的抽象。
第7章解释康托的集合论与超限序数，以及在集合论中如何规范地解释自然数以及实数这些概念。本书也希望明确康托的超限序数与有限序数之间的自然关联，从而提示数学中新概念产生的一条典型思路。这一章中，本书也大致地展示了现代数学的一种基础理论------集合论------的主要内容。我们需要这样做，因为这是对数概念规范的终极解释。除了集合论公理化内容之外，本章的重点是康托在1883年引进超限序数的论文的主要内容以及他对于实数的定义。
最后，第8章引进了实数算术理论以及自然数算术理论的非标准模型。这样做的目的是试图解释数这样的概念实际上具有很大的可伸缩性，并非如早先的那些先验论者所想象的那样一层不变。这些严格定义出来的非标准模型会展示牛顿--莱布尼茨早年想象的无穷大量与无穷小量可以是数学意义上的真实存在对象，它们也是数。
实话实说，我原本不会对有关数的哲学问题感兴趣，因为在我看来，集合论对自然数的解释已经至臻完善，可谓终究极致。然而，生活中的机缘常常会将人带到意想不到的境地。我首先应当感谢复旦大学的郝兆宽教授，一位难得的相识多年的年轻朋友。差不多十年前，是他送给我一本由他和杨睿之合作翻译的美国学者斯图尔特·夏皮罗所著《数学哲学：对数学的思考》（Thinking about Mathematics---The Philosophy of Mathematics）。从这本书中我第一次接触到数学哲学思考者所关注的有关数的那些问题，带着这些问题去读《数学哲学》，自然会有一些不怎么明白的地方，也就难免胡思乱想。如果就此打住，也便没有什么。诚如前此我在《逻辑与发现》的序言中说过的，机缘有时也会展现出难得的连贯性。去年，非常意外也十分荣幸地接受清华大学哲学系刘奋荣教授的邀请，到清华大学---阿姆斯特丹大学逻辑学联合研究中心访问。恰逢清华大学人文学院刚启动的日新书院需要为书院中选拔出来的哲学学堂班开设哲学经典与专题研讨班，其中有一门四十八学时的逻辑学交叉科学专题。刘奋荣教授建议我来主讲，并把我引荐给了负责学堂班工作的夏莹教授。这便成了义不容辞的工作任务。为了给这些优秀的学生们准备一份拿得出手的讲义课件，我便将有关数的那些杂乱的想法整理出来，以期与学堂班的同学们一道从认识论的角度来审视数概念的形成与演变。自然，我完全假设了这样做是合适的。于是，呈现给读者的这本小册子的梗概便出自那些讲义。我也有意在这本小册子中保留了那些讲义课件的一些痕迹，因为在我看来曾经给这些优秀的学生讲过这样的内容是一份非常值得的记忆。因此，请允许我借此机会表达对刘奋荣教授、夏莹教授以及复旦大学的郝兆宽教授、杨睿之教授的衷心感谢，也非常感谢清华大学人文学院以及哲学系对我的访问所提供的便利和支持。
冯琦
2022年9月
冯琦，湖北松滋人，1955年4月出生。哈尔滨工业大学计算机软件专业本科毕业；美国宾州州立大学数学专业博士毕业。曾任新加坡国立大学数学系讲师、高级讲师、教授；曾任清华大学数学系教授；曾任中国科学院数学所研究员、数学所副所长，以及中国科学院数学与系统科学研究院研究员；现为清华大学人文学院哲学系访问学者。专业研究方向为数理逻辑、集合论。著有《数理逻辑导引》(2017)、《线性代数导引》(2018)、《集合论导引》(3卷，2019)、《基本逻辑学》(2020)、以及《逻辑与发现》(预计2022)，均有科学出版社出版。
第 1 章 绪论 1
1.1 十九世纪末叶思想者对自然数观念的典型解释 3
1.1.1 弗雷格在《算术基础》解释自然数 3
1.1.2 赫尔姆霍兹否定算术知识的先验性 12
1.1.3 克罗内克定义自然数 18
1.1.4 戴德金论自然数的本质与含义 20
1.1.5 皮亚诺算术公理 27
1.1.6 对前述典型认知的几点评注 29
1.2 面临的基本问题及基本假设 32
1.2.1 思维过程涉及三种世界 33
1.2.2 关于抽象与抽象能力 42
1.2.3 关于数的哲学思考 44
第 2 章 比较与排序 49
2.1 生活中的比较问题 49
2.2 等同 58
2.2.1 相同关系 58
2.2.2 等价类与商集 62
2.3 关联准线性序与自然离散线性序 66
2.3.1 关联准线性序关系 66
2.3.2 线性序 68
2.3.3 关联准线性序之群体效应 69
2.3.4 关联准线性序之提升 70
2.3.5 一阶逻辑之量词 78
2.3.6 量词所辖变元之变化范围问题 79
2.3.7 关于抽象：从具体到一般 80
2.3.8 序结构比较问题 81
2.3.9 特殊字符串表及其字典序 85
2.3.10 居民扩展名之等价类中名字的字典序 86
2.3.11 商集 M/ 中的元素与商集 H0/中元素之比较 88
2.3.12 竹简书卷长短比较 89
2.4 正字字符串 92
2.4.1 从实物标识到正字字符串表示 92
2.4.2 正字字符串之有界部分团 95
第 3 章 序型算术与自然数 98
3.1 序同构与序型比较 98
3.1.1 等势 98
3.1.2 保序对应 101
3.1.3 序同构法则 102
3.1.4 自然离散线性序之刚性 102
3.1.5 序型表示问题 106
3.1.6 有限性与自然数 107
3.1.7 自然数之内涵 108
3.2 算术问题 108
3.2.1 合并操作与整合操作 108
3.2.2 无重合序合并与序型加法 109
3.2.3 序型加法 111
3.2.4 序型加法保持序型比较关系 112
3.2.5 整合操作与干支乘积 123
3.2.6 整合操作的基本性质 125
3.3 序型算术的实现 126
3.3.1 加法运算与乘法运算 126
3.3.2 运算保序规律 131
3.3.3 自然数数值内涵 134
第 4 章 正分数 139
4.1 平面直线线段长短比较问题 139
4.1.1 平面直线线段长短比较 139
4.1.2 平面长度度量假设 144
4.2 平面整齐矩形面积量 146
4.2.1 整齐矩形面积度量 146
4.2.2 长度量之乘法以及面积量 148
4.2.3 等分直线段与正分数 149
4.3 正分数算术律 151
4.3.1 发现正分数算术律 151
4.3.2 长度量均分假设 155
4.3.3 发现正真分数大小比较律 155
第 5 章 几何量 158
5.1 发现非分数几何量 158
5.1.1 单位正方形主对角线长度问题 158
5.1.2 发现双倍面积定理 159
5.1.3 发现勾股弦面积定理 162
5.2 几何原理 168
5.2.1 默认假设追问 168
5.2.2 欧几里得几何 169
5.2.3 刘徽计算中的几何直观假设 171
5.2.4 发现圆周率 172
5.2.5 数之法出于圆方 173
5.2.6 非有理几何量 174
5.2.7 无理数 175
5.2.8 几何量与正实数 175
5.2.9 平面夹角及其大小比较 176
5.2.10 平面上夹角的度量 178
5.2.11 发现正弦变化律 179
5.2.12 正弦值与三角形面积 183
5.2.13 正无理长度 185
5.2.14 正实数直线 185
5.2.15 非负实数轴与平面直线线段长度 190
5.2.16 镜面反射与负数 192
5.2.17 整数直线、分数直线、实数直线 192
5.2.18 实数轴 195
第 6 章 向量 198
6.1 实数平面与实数立体几何空间 198
6.1.1 笛卡尔直角坐标系 198
6.1.2 欧几里得平面参照系 201
6.1.3 笛卡尔距离空间 203
6.1.4 立体欧几里得空间参照系 206
6.1.5 向量空间 208
6.1.6 内积空间 214
6.1.7 高维向量空间中的内积 216
6.2 向量内积空间上的变换 217
6.2.1 平移 217
6.2.2 旋转 220
6.2.3 旋转矩阵 221
6.2.4 矩阵之代数运算 223
6.2.5 旋转复合 230
第 7 章 超限序数 235
7.1 对应与函数 235
7.2 康托建立集合论 239
7.2.1 认识实变函数 239
7.2.2 区分可排列与不可排列 244
7.2.3 康托引入超限序数 246
7.2.4 公理化之路 254
7.2.5 集合论语言：形式规则、形式语义以及形式判断 256
7.2.6 无穷集合存在性 259
7.2.7 笛卡尔乘积以及交、并、差运算 268
7.2.8 函数概念以及等价关系概念 271
7.2.9 集合之势比较与等势 274
7.3 有限数的集合表示 275
7.3.1 自然数大小比较 275
7.3.2 有限集合 276
7.3.3 自然数平面之序与势 278
7.3.4 递归定义 280
7.3.5 自然离散线性序表示定理 282
7.3.6 自然数算术 285
7.3.7 整数及其算术 286
7.3.8 有理数算术及其线性序 287
7.3.9 有理数基本序列 289
7.3.10 实数有序域 291
7.3.11 希尔伯特关于实数概念 298
7.4 秩序与序数 301
7.4.1 秩序集合 302
7.4.2 序数 303
7.4.3 秩序典型代表问题 306
7.4.4 序数算术 309
7.4.5 秩序化问题 313
7.4.6 集合论论域累积层次 314
7.4.7 集合论公理体系 ZFC 315
7.4.8 基数 315
7.4.9 基数之和与积 319
第 8 章 无穷小量 321
8.1 无穷小量与非标准实数轴 321
8.2 非标准实数轴的超幂构造 324
8.2.1 自然数集合上的超滤子 324
8.2.2 实数轴的一个超幂 325
8.2.3 自然数算术非标准模型 328
索引 330
书单推荐
