本书是Stefan G.Samko,Anatoly A.Kilbas,Oleg I.Marichev所著英文专著Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications的中文翻译版本。书中阐述了几乎所有已知的分数阶积分-微分形式，并对它们进行了相互比较，强调了一个函数能否被另一个函数分数阶积分表出的问题，突出了已知函数的分数阶积分可表示性问题比它的分数阶导数存在性问题更为重要，揭示了在某种意义下，函数分数阶导数的存在性等价于其分数阶积分的可表示性，同时给出了分数阶积分-微分在积分方程和微分方程中的大量应用。此外，应原著作者要求，本书增加了一个附录，介绍了第三作者及其合作者开发的分数阶微积分的计算机代数系统。
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1.上海市自然科学奖 分数阶微分方程的数值方法(李常品赵振刚)，2017年
2.上海市优秀博士学位论文指导教师：上海市研究生优秀成果（学位论文）（指导的
博士生曾凡海获得“ 2016年上海市优秀博士论文奖”），2016年
3.获分数阶微积分领域的黎曼-刘维尔理论文章奖，2012年（本书依托获奖项目）
目录
译者序
俄文版序言
英文版前言
俄文版前言
分数阶积分和导数主要形式的符号
历史简述
第一章 区间上的分数阶积分和导数 1
1 预备知识 1
1.1 Hλ与Hλ（ρ）空间 1
1.2 Lp与Lp（ρ）空间 6
1.3 一些特殊函数 11
1.4 积分变换 19
2 Riemann-Liouville分数阶积分与导数 24
2.1 Abel 积分方程 24
2.2 Abel 方程在可积函数空间中的可解性 25
2.3 分数阶积分和导数的定义及其最简单性质 27
2.4 复分数阶积分和导数 31
2.5 一些初等函数的分数阶积分 33
2.6 分数阶积分和微分的逆运算 35
2.7 复合公式与算子半群的联系 38
3 H.lder函数与可和函数的分数阶积分 43
3.1 Hλ空间中的映射性质 44
3.2 Hλ0（ρ）空间中的映射性质 47
3.3 Lp 空间中的映射性质 55
3.4 Lp（ρ）空间中的映射性质 58
4 第一章的参考文献综述及补充信息 68
4.1 历史注记.68
4.2 其他结果概述 （与§§1—3相关） 71
第二章 实轴和半轴上的分数阶积分和导数 81
5 分数阶积分和导数的主要性质.81
5.1 定义和基本性质 81
5.2 H.lder函数的分数阶积分 85
5.3 可和函数的分数阶积分 89
5.4 Marchaud分数阶导数 94
5.5 Hadamard有限部分积分 96
5.6 有限差分的性质及α>1时的Marchaud分数阶导数.100
5.7 与分数次幂的联系 103
6 函数的Lp-函数的分数阶积分表示 104
6.1 Iα（Lp）空间 105
6.2 Lp-函数的分数阶积分的逆 106
6.3 Iα（Lp）空间的刻画 108
6.4 函数可表示为分数阶积分的充分条件 111
6.5 Iα（Lp）-函数的连续积分模 116
7 分数阶积分和导数的积分变换 116
7.1 Fourier变换 117
7.2 Laplace变换 119
7.3 Mellin变换 121
8 广义函数的分数阶积分和导数 123
8.1 基本思想 123
8.2 实轴R1的情形检验函数Lizorkin空间 124
8.3 Schwartz方法 131
8.4 半轴的情形基于共轭算子的方法.132
8.5 McBride方法 134
8.6 区间的情形.135
9 第二章的参考文献综述及附加信息 136
9.1 历史注记 136
9.2 其他结果概述（与§§5—8相关） 139
9.3 分数阶积分和导数的表格 150
第三章 分数阶积分和导数的进一步性质 154
10 带权的分数阶积分和导数的复合运算.154
10.1 两个带幂权的单边积分复合运算 155
10.2 双边带幂权积分的复合运算 166
10.3 多个带幂权积分的复合运算 168
10.4 带指数权及幂指数权积分的复合运算 172
11 分数阶积分与奇异算子的联系 175
11.1 奇异算子S 176
11.2 全直线的情况 178
11.3 区间及半直线的情形 180
11.4 一些其他的复合关系 185
12 势型分数阶积分 188
12.1 实轴的情形Riesz势和Feller势 188
12.2 Riesz势在半轴上的截断 192
12.3 半轴的情形.194
12.4 有限区间的情形.195
13 区间上可表示为分数阶积分的函数 196
13.1 区间上的Marchaud导数 196
13.2 Lp 中函数的分数阶积分的刻画 200
13.3 分数阶积分的延拓、限制与 “缝合” 204
13.4 Holder函数的分数阶积分的刻画 207
13.5 加权Holder空间的并集上的分数阶积分 214
13.6 具有特定连续模函数的分数阶积分和导数 216
14 实变函数的分数阶积分-微分的其他结果.221
14.1 Lipschitz空间*和* 221
14.2分数阶积分在*空间中的映射性质 223
14.3 在整条直线上有定义且在每个有限区间内属于*的函数的分数阶积分和导数 226
14.4 绝对连续函数的分数阶导数 231
14.5 分数阶积分和导数的Riesz中值定理及不等式 234
14.6 分数阶积分与级数和积分的求和 238
15 广义Leibniz法则 239
15.1 实轴上解析函数的分数阶积分-微分 239
15.2 广义Leibniz法则 242
16 分数阶积分的渐近展开 245
16.1 渐近展开的定义与性质 246
16.2 幂渐近展开的情形 248
16.3 幂对数渐近展开的情形 253
16.4 幂指数渐近展开的情形 256
16.5 Abel方程的渐近解 257
17 第三章的参考文献综述及附加信息 259
17.1 历史注记 259
17.2 其他结果概述（与§§10—16相关） 265
第四章 分数阶积分和导数的其他形式 282
18 Riemann-Liouville分数阶积分的直接修正与推广 282
18.1 Erdelyi-Kober型算子 282
18.2 函数关于另一个函数的分数阶积分 285
18.3 Hadamard分数阶积分-微分 288
18.4 Bessel分数阶积分-微分的一维修正和空间* 291
18.5 Chen分数阶积分 295
18.6 Dzherbashyan广义分数阶积分 301
19 周期函数的Weyl分数阶积分和导数 302
19.1 定义与Fourier级数的联系.303
19.2 Weyl分数阶积分的基本性质 307
19.3 周期函数的分数阶积分的其他形式 309
19.4 Weyl分数阶导数与Marchaud分数阶导数的一致性 310
19.5 周期函数关于Weyl分数阶积分的可表示性 312
19.6 Holder函数空间中的Weyl分数阶积分-微分 314
19.7 *空间中周期函数的分数阶积分和导数.319
19.8 三角多项式的分数阶积分的 Bernstein 不等式 320
20 基于分数阶差分的分数阶积分-微分方法 （Grunwald-Letnikov方法） 322
20.1 分数阶差分及其性质 323
20.2 Grunwald-Letnikov导数与Marchaud导数的一致性周期情形 327
20.3 Grunwald-Letnikov导数与Marchaud导数的一致性非周期情形 331
20.4 有限区间上的Grunwald-Letnikov分数阶微分 334
21 带幂对数核的算子 336
21.1 在*空间中的映射性质.337
21.2 在*空间中的映射性质 343
21.3 在Lp空间中的映射性质 347
21.4 在Lp（ρ）空间中的映射性质 349
21.5 渐近展开 355
22 复平面上的分数阶积分和导数 358
22.1 复平面上分数阶积分-微分的定义和主要性质 359
22.2 解析函数的分数阶积分-微分 363
22.3 解析函数分数阶积分-微分的推广 368
23 第四章的参考文献综述及附加信息 372
23.1 历史注记 372
23.2 其他结果概述（与§§18—22 相关）.378
23.3 分数阶微积分会议上提出的一些问题的回答 （纽黑文,1974） 400
第五章 多变量函数的分数阶积分-微分 402
24 分数阶偏及混合积分和导数.402
24.1 多维Abel积分方程 403
24.2 分数阶偏及混合积分和导数 403
24.3 两个变量的情形算子张量积 407
24.4 分数阶积分算子在*空间（具有混合范数）中的映射性质 408
24.5 与奇异积分的联系 410
24.6 Marchaud形式的分数阶偏和混合导数 411
24.7 *中函数的分数阶积分的刻画 413
24.8 分数阶积分和导数的积分变换 415
24.9 关于分数阶积分-微分不变的Lizorkin函数空间 417
24.10 多变量周期函数的分数阶导数和积分 418
24.11 Grunwald-Letnikov分数阶微分 420
24.12 多势型算子 421
25 Riesz分数阶积分-微分 424
25.1 预备知识 424
25.2 Riesz势及其Fouirer变换不变Lizorkin空间 429
25.3 *空间和*空间中算子*的映射性质.433
25.4 Riesz微分（超奇异积分） 436
25.5 单边Riesz势 440
26 超奇异积分与 Riesz 势空间 442
26.1 归一化常数*作为参数α的函数的研究 442
26.2 非中心差分情形下的光滑函数超奇异积分的收敛性和有限差分阶从 l到l>2[α/2]的减少 447
26.3 作为 Riesz 势的逆的超奇异积分 449
26.4 具有齐次特征的超奇异积分 453
26.5 具有齐次特征的超奇异积分是与分布的卷积 459
26.6 偏导数微分算子的超奇异积分表示 461
26.7 Riesz势空间*及其基于超奇异积分的刻画空间* 465
27 Bessel 分数阶积分-微分 470
27.1 Bessel核及其性质 470
27.2 与Poisson, Gauss-Weierstrass及元调和连续半群的联系 472
27.3 Bessel 势空间 475
27.4 *基于超奇异积分的实现 478
28 多维分数阶积分-微分的其他形式 483
28.1 具有Lorentz距离的Riesz势（双曲Riesz势） 484
28.2 抛物势 490
28.3 基于超奇异积分实现的分数次幂算子*和* 493
28.4 分数阶混合积分和导数的金字塔类似形式 496
29 第五章的参考文献综述及附加信息 504
29.1 历史注记 504
29.2 其他结果概述 （与§§24—28 相关） 510
第六章 应用于带幂和幂对数核的第一类积分方程 534
30 广义 Abel 积分方程 535
30.1 控制奇异积分方程 535
30.2 全轴上的广义Abel方程 538
30.3 区间上的广义Abel方程 543
30.4 常系数的情形 548
31 带幂核的第一类方程的Noether性质 554
31.1 Noether算子的预备知识 554
31.2 在实轴上的方程 557
31.3 有限区间上的方程 568
31.4 关于解的稳定性 577
32 带幂对数核的方程 579
32.1 特殊Volterra函数及其性质 579
32.2 带非负整数次对数幂的方程的解 582
32.3 带实数次对数幂的方程的解 585
33 带幂对数核的第一类方程的Noether性质 589
33.1 算子*值域的嵌入定理 589
33.2 具有幂对数核的算子与奇异算子之间的联系 591
33.3 方程（33.1）的Noether性质 596
34 第六章的参考文献综述及附加信息 599
34.1 历史注记 599
34.2 其他结果概述 （与§§30—33 相关） 602
第七章 带特殊函数核的第一类积分方程 611
35 带Gauss和Legendre函数的齐次核方程 611
35.1 带Gauss 函数的方程 612
35.2 带Legendre函数的方程 614
36 视作积分变换的分数阶积分和导数 618
36.1 G变换的定义空间*和*及其特征 619
36.2 G变换的存在性、映射性质及表示 623
36.3 G变换的分解 626
36.4 G变换的逆 629
36.5 分数阶积分在*和* 空间中的映射性质、分解及逆运算 632
36.6 因子分解的其他例子 634
36.7 作用在分数阶积分和导数上的G变换的映射性质 637
36.8 分数阶积分和导数的指标律 638
37 带非齐次核的方程 641
37.1 带差分核的方程.641
37.2 Hankel及Erdelyi-Kober变换对应的广义算子 647
37.3 核中带Bessel函数的非卷积算子 650
37.4 复合型方程 653
37.5 W变换及其逆变换 659
37.6 分数阶积分在逆W变换中的应用 663
38 分数阶微积分在对偶积分方程研究中的应用 666
38.1 对偶方程 667
38.2 三重方程 671
39 第七章的参考文献综述及附加信息 675
39.1 历史注记 675
39.2 其他结果概述（与§§35—38 相关） 679
第八章 在微分方程中的应用 701
40 二阶偏微分方程解析解的积分表示及其在边值问题中的应用 701
40.1 预备知识 701
40.2 广义Helmholtz双轴对称方程解的表示.704
40.3 广义Helmholtz双轴对称方程的边值问题 712
41 Euler-Poisson-Darboux方程.715
41.1 Euler-Poisson-Darboux方程解的表示 715
41.2 Cauchy问题的经典解和广义解.720
41.3 多维半空间中的半齐次Cauchy问题 724
41.4 半平面上加权 Dirichlet和Neumann问题 727
42 分数阶常微分方程 729
42.1 一般形式的分数阶微分方程及微分方程组的Cauchy型问题 730
42.2 分数阶线性微分方程的Cauchy型问题 736
42.3 分数阶线性微分方程的Dirichlet型问题 740
42.4 广义函数空间中分数阶常系数线性微分方程的解 743
42.5 分数阶微分在整数阶微分方程中的应用 746
43 第八章的参考文献综述及附加信息 751
43.1 历史注记 751
43.2 其他结果概述（与§§40—42相关） 754
参考文献 770
作者索引 868
条目索引 882
符号索引 889
附录 分数阶微积分概述及其在Wolfram Mathematica中的计算机实现 893
内容简介 893
1 历史、现状和应用 894
1.1 背景和概念 894
1.2 分数阶微积分的经典方法 897
1.3 分数阶导数的推广 907
1.4 分数阶导数和积分的应用 912
2 Wolfram语言中的分数阶微分 916
2.1 Wolfram语言中 Riemann-Liouville-Hadamard积分-微分的定义 916
2.2 通过级数展开计算分数阶导数和积分 921
2.3 Meijer G函数和分数阶微积分 929
2.4 支持微分常数、分数阶微分的通用公式 947
2.5 总结 950
参考文献 951
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