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丛书名：普通高等教育“十三五”规划教材普通高等院校工程实践系列规划教材
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- 作者：梅加强编著
- 出版时间：2013/1/1
- ISBN：9787030360311
- 出 版 社：科学出版社
- 中图法分类：O189.3
- 页码：322
- 纸张：胶版纸
- 版次：1
- 开本：16K
《流形与几何初步》是微分流形和现代几何的一本入门教材。它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。《流形与几何初步》前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。《流形与几何初步》内容丰富、语言简洁，书中含有详细的例子和练习。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读《流形与几何初步》。
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《流形与几何初步》可作为综合性大学、师范院校数学系高年级本科生和研究生选修课教材，也可供数学、物理工作者参考。
目录
前言
第1章 微分流形 1
1.1 流形的定义和例子 1
1.2 子流形 7
1.3 单位分解 15
1.4 切空间和切映射 21
1.5 Sard定理及应用 29
1.6 Lie群初步 37
第2章 流形上的微积分 45
2.1 切丛和切向量场 45
2.2 可积性定理及应用 56
2.3 向量丛和纤维丛 63
2.4 张量丛 72
2.5 微分形式 80
2.6 带边流形 93
2.7 Stokes积分公式 97
第3章 流形的几何 105
3.1 度量回顾 105
3.2 联络 111
3.3 曲率 122
3.4 联络和曲率的计算 130
3.4.1 活动标架法 130
3.4.2 正规坐标 135
3.5 子流形几何 140
3.5.1 第二基本形式 140
3.5.2 活动标架法 143
3.5.3 极小子流形 144
3.5.4 黎曼淹没 152
3.6 齐性空间 156
3.6.1 Lie群和不变度量 156
3.6.2 弃性空间 160
3.6.3 对称空间 163
3.7 主丛及其联络 170
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式 180
3.8.1 向量场的指标 181
3.8.2 单位球丛上的计算 184
3.9 Chern-Weil理论 190
第4章 流形的上同调 205
4.1 Poincare引理 205
4.1.1 Poincare引理 205
4.1.2 映射度回顾 210
4.2 de Rham上同调群的计算 215
4.2.1 群作用与上同调 215
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列 222
4.3 Thom类和相交数 229
4.3.1 Thom类 229
4.3.2 相交数 233
4.4 Hodge理论 240
4.4.1 Hodge星算子 240
4.4.2 Bochner技巧 246
4.5 Dirac算子 253
4.5.1 Clifford代数 253
4.5.2 Clifford丛 262
第5章 流形上的椭圆算子 270
5.1 Sobolev空间 270
5.2 Hodge定理的证明 277
5.3 熟方程与热核 284
5.4 迹与指标公式 296
5.5 指标公式的证明 304
5.5.1 谐振子 309
5.5.2 Atiyah-Singer指标定理 312
参考文献 318
索引 320
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