引言
明末清初,随着西学东渐,三角知识传入中国.当时历法需要改革,三角学可用于历法研究,因而得到明清学者的重视.不过,它的可靠性有待证实,因为儒者担心“暗伤王化”.由于存在中西之见,引进必须经过会通,清代三角学的结构与变迁由此限定.两次传入的三角知识大不一样,两次会通的数学结果也不一样,值得深入研究.
关于三角学的第一次传入与会通,学者已有大量研究,李俨等数学史前辈已做了奠基性的工作.李俨的文章“角术和三角函数表的东来”探讨了三角学第一次传入的历史,他的另一篇文章“明清算家的割圆术研究”探讨了第一次数学会通的结果.通过细心的史料整理与内容分析,他为进一步研究奠定了很好的基础.在此基础上,其他学者继续探讨第一次传入的三角知识及其会通结果,研究范围逐步扩展.梅荣照的文章“王锡阐的数学著作《園解》”分析了“園解”的方法与结果,李迪.郭世荣的《清代著名天文数学家梅文鼎》涉及梅文鼎关于三角学的会通与结果,山田庆儿的《中国古代科学史论》涉及清代学者关于“弦矢捷法”的会通与结果,笔者的《清代级数论史纲》涉及中算家关于三角函数幂级数展开式的研究.同类研究工作目前已有不少,它们为本书提供了有用的线索.
关于三角学的第二次传入与会通,目前的研究不多,只有个别学者进行了有价值的探索.田淼的《中国数学的西化历程》包括“清代末年传入的三角学知识”,探讨了“清末数学家对三角函数概念的认识’’,说明了三角比例数取代八线概念,以及符号代数取代图解方法的经过.《三角数理》是第二次传入的典型的西方三角学著作,杨楠探讨了它的译本及其影响,分析了它的内容及其传播情况.同类的研究虽然不多,但是思路新颖,值得借鉴.
至于第一次会通的传统数学基础.第二次会通的最后结果.两次会通引起的数学变化其意义究竟何在,均有待进一步探讨.这对了解清末学者的三角知识与特点,了解中国数学由传统向现代的转变,了解近代中西思想的交流,不无裨益.
本书将探讨清代三角学的数理化历程,关键是基本概念与变迁,涉及中国古代的知识传统.两次传入的三角知识与会通结果.第一次数学会通立足于一定的传统知识,清初学者认为三角学通于古法,譬如,勾股术.割圆术与弧矢术.对于它们的结构特性.发展变化及其三角学意义,以往研究有所遗漏,有待进一步探讨,由此可以说明古代的知识传统.由第一次会通引起的概念进化及其结果,以往研究者没有特别地关注,有待进一步探讨,由此可以说明第二次西学东渐之前中算家的三角知识与特点.
第二次传入的三角知识在形式上有了较大变化,所有对象都可以符号代之,所有结果“俱能以算术核之”.关于比例数与割圆八线的区别,学者尚未展开深入分析,仍需进一步探讨,由此可以说明第二次会通工作的特点.关于数理方法与代数方法的区别,学者的研究尚未涉及,有待探讨,由此可以说明第二次会通工作的范围.数学会通方式在废除科举制度后发生了很大变化,这种变化的结果及其意义有待探讨,由此可以说明清末三角知识的结构与特点.以往学者的研究没有将三角函数与割圆八线或比例数区别开来,三角函数概念真正的建立与发展仍有待探讨,清末三角学的结构变化由此得到说明.
本书的重点是中西概念的会通与结果,涉及古代的有关知识与传统,以及两次传入的三角知识与特点.由于内容广泛,涉及大量的原始文献与研究文献,因而材料的选择与表达有难度.我们的基本原则是:不求面面俱到,只想说明基本概念与变迁.相关的文献资料,包括以往学者的研究工作,都要根据原文合理重建.选择典型的原始文献,通过内容分析,说明中西数学概念的不同特点.在此基础上,通过比较分析,说明会通前后基本概念的变化及其意义.
第一,通过分析传统勾股术.割圆术及弧矢术的结构特性与发展变化,说明有关三角学的传统知识与特点.
第二,通过分析《大测》及《测量全义》中的基本概念和方法,说明第一次传入的三角知识与特点.选择王锡阐.梅文鼎.明安图及项名达等的相关著作作为典型案例,通过分析概念和方法的变化,说明第一次会通的结果.
第三,选择《三角数理》及《代数术》等著作,通过分析有关概念和方法,说明第二次传入的三角知识及其特点.
第四,选择《割圆术辑要》及《新三角问题正解》等著作作为第二次会通的典型案例,通过分析概念和方法的变化,说明清末学者的三角知识及其特点.
第五,选择《平面三角法》等著作,通过分析三角学的结构与变迁,说明全盘西化的结果.
通过引用新材料与新方法,本书得出若干新观点:古代的弧矢概念实质上是物理的,相应的结果则是近似的.本书根据原文分析,区分物理.几何.算术与分析的概念,说明了清代三角学的结构与变迁,由此引出一些新观点.某些古法有其三角学意义,但是古代学者没有严格区分近似关系与精确关系,原因是它们未能独立于天文学.第一次数学会通使三角学独立于天文学,物理概念进化为几何概念,结果是精确关系取代了近似关系.第二次西学东渐使三角学独立于几何学,几何概念进化为算术概念,特殊关系被一般关系所取代.三角函数概念并不是第二次会通的结果,而是全盘西化的结果,全盘西化则是第二次会通的最后结果.清末学者引进了“三角函数”,然而有名无实,全盘西化之前函数概念并未真正建立起来.科举制度废除以后三角学全盘西化,基本概念进化为三角函数,三角级数论走向现代函数论.上述观点得到了新材料的支持,如卢靖(1855.1948)的《割圆术辑要》.长泽氏的《三角法公式》及陈文的《平面三角法》,它们在这里被初次探讨.
古代的学者未能分辨物理的弧矢与几何的弧矢,由于西学东渐,弧矢概念几何化,最终实现数理化.几何化说明了清代割圆术的兴衰,物理概念几何化使清代割圆术获得空前发展,进一步几何化则使基本概念独立于割圆术,最终被欧氏几何之理取而代之.三角学的数理化包括代数化与分析化,代数化过程涉及代数之常法与纯形式定义,分析内容涉及无穷级数与正交函数.晚清学者未能分辨几何.算术与分析的概念,以为三角函数即八线.他们接受了代数之常法,但拒绝了纯形式定义,未能完成代数化.至于无穷级数与正交函数,由于未能有效地利用微积分,他们不可能实现分析化.无论如何,由于受到日本数学的影响,清末学者的平面三角学最终全盘西化.
从形式的观点看,三角学可由二项式导出,基本概念可依欧拉公式定义.晚清三角学背道而驰,数理概念几何化,西法归入割圆术.清代学者曾有机会独立完成数理化,然而古代的形式主义传统似乎被忘却了,何以至此值得深思.
第一章古代的知识传统
清初学者认为,三角学通于古法,甚至觉得古法更为基本.由此导致了截然不同的两种结果:一些学者尝试会通中西,以便“补益王化”;另一些学者则极力维护传统,以免破坏古法固有的和谐关系.前者引进新概念.新方法,使三角学独立于天文学,最终以精确结果取代了近似结果;后者没有对近似关系与精确关系作出区分,由于受到知识传统的制约,他们拒绝了无穷的概念,因而无法使三角学独立于天文学.
第一节有关概念
梅文鼎(1633.1721)认为,中西数学的原理是一致的,因为中西“共戴一天”.数学的天是自然的天,自然的天没有中西之别.中西相隔虽数万里,但数学原理不容不合.所以三角学通于古法,譬如,勾股术.割圆术与弧矢术.
一.勾股术
传统勾股术包括勾股算术.勾股容方与容圆.整勾股数等问题,涉及勾股恒等式.内接正方形边长.内切圆直径和不定方程的整数解,皆与不失本率原理有关.不失本率原理是算术的,由于古人将其用于解决勾股问题获得成功,后人便以为它是几何的,并举“幂图”为证.
在清代三角学概念的进化过程中,作为传统勾股术的一个典型方面,勾股算术曾经起到过特殊的作用.这不仅因为“三角即勾股之变通”,更为重要的是,中算家在古代的传统中找到了勾股算术的形式基础.人们由此感到西算没有那么危险,于是加快了三角学的形式化步伐,虽然直到20世纪以前,该进程并未真正完成.
勾股算术起源于和较相求问题,问题取决于勾股恒等式转而依赖更为基本的关系,但是长期以来被几何解释所掩盖.从形式的观点看,勾股恒等式完全取决于算术关系
古代学者曾以不同的形式引用过这些结果,但是清代以前它们未能成为勾股算术的基础,这是算术依赖于几何的结果.
根据古代的观点,(3)是由磬折形与矩形的关系所确立的:
勾实之矩以股弦差为广.股弦并为袤,而股实方其里.……股实之矩以勾弦差为广.勾弦并为袤,而勾实方其里.[1]
这里0(a+b-c)2=2(c-a)(c-b), (4)
它是由(3)所确立的,但几何解释掩盖了因式分解过程.后来,徐光启(1562.1633)给出(3)的另外一种几何解释
a2=c2-b2=b(c-b)+c(c-b)=(c-b)(c+b),
其中0至于(1).(2),它们的几何意义如此显然,以至于没人感到它们还需要证明,直到西学东渐.《九章算术》“少广”章涉及数字多项式
其项数可以任意多,而次数不难推广到“诸乘方”.开方术是把多项式的展开作为二项式的多次展开,例如,“今有积五万五千二百二十五步,问为方几何”,答案由
(x1+x2+x3)2=xj2+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2
=xj2+x^+x^+2xjx2+2x2x3+2x3xj
确定,这与(2)完全一致.
杨辉(13世纪)的《乘除通变算宝》以数值形式给出(1),他称之为“连身加法”.譬如,“铜二十九砣,每砣二十三斤,问重几何”,结果是
(9+20)(3+20)=9x3+9x20+20x3+20x20.
随着西学东渐,徐光启给出了(1).(2)的一般性证明:
两和相乘为乙巳直角形,倍之为丁戊直角形.以为实平方开之,得巳庚直角方形与丁戊等,即其边为弦和和者.何也.丁戊全形内有弦幂二,股弦矩内形.勾弦矩内形.勾股矩内形各二.与巳庚全形内诸形比,各等.
独丁戊形内余一弦幂,巳庚形内余一勾幂.一股幂.并二较一亦等,即巳庚方形之各边皆弦和和.[2]
2(a+c)(b+c)=2[ab+(a+b)c+c2]
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2. ⑶
古代的数值结果由此得以一般化,但仍要求0由于未能摆脱几何直观,明末清初的学者不可能将(1).(2)及(3)完全一般化.不过,通过(3)的推广使用,梅文鼎得到
(a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c),c—(b—a)=(c—b+a)(c+b—a).
由古代的弦图,有
(a+b)2—c2=c2—(b—a)2=2ab,
于是
(a+b—c)(a+b+c)
=(c—b+a)(c+b—a)=2ab. (6)
梅文鼎认为,(6)说明了勾股算术的“立法之根”,并称“其理皆具古图中”,将合理性归之于面积变换.
一个世纪后,项名达(1789.1850)在比例关系中找到了勾股算术的基础,变化是由数学会通引起的.他发现,勾股恒等式虽然可用面积关系来解释,但却并不依赖于这样的解释.对于因式分解公式,西算给出了不同的解释,(3)被归结为相似勾股形的比例关系.根据《几何原本》,在勾股形中如果由直角向弦作垂线,则与垂线相邻的两个勾股形相似,故垂线为弦上两段的比例中项.[3]这种解释后来被中算家收入《数理精蕴》,同时还收入了西算的种种“和较比例”,包括合比.分比及合分比等基本关系.很可能由此得到启发,项名达将(3)作为勾股算术的立法之根,并释之以三率连比例
(c—b):a=a(c+b). (7)
根据比例的性质,“凡有比例加减之,其和较亦可互相比例”.因此,由(7)可以“另生比例”导出其他勾股恒等式,而“诸术开方之所以然,遂于是得”.比例关系(7)仍出于几何的思考,勾股算术仍然需要这样一个几何基础.但是在此基础上建立的其他勾股恒等式,则为纯粹的算术关系,项名达的形式化工作已很接近现代的标准.由
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