线性代数是非数学类各专业的数学基础课程,根据教学大纲要求,线性代数内容共分为6章,包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、二次型、线性空间与线性变换．对一般的非数学专业,第6章作为选学内容,配备了相应的数学实验内容．线性代数对较为烦琐的定理证明用星号标出,教师可根据学时情况和学生接受程度酌情考虑取舍．线性代数配有各层次难易不等的例题及习题,书后备有习题参考答案．特别是习题中加进了近几年硕士研究生入学考试题中线性代数的部分内容,便于学生掌握所学内容的考研方向,有针对性的学习线性代数内容．
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目录
第1章 行列式 1
1.1 二阶与三阶行列式 1
习题1.1 4
1.2 排列 逆序 4
习题1.2 5
1.3 n阶行列式 6
习题1.3 8
1.4 行列式的基本性质 9
习题1.4 13
1.5 行列式按行(列)展开定理及Laplace定理 14
习题1.5 22
1.6 克拉默(Cramer)法则 23
习题1.6 26
第2章 矩阵 27
2.1 矩阵的概念 27
2.2 矩阵的运算 29
习题2.2 34
2.3 分块矩阵 34
习题2.3 38
2.4 方阵的行列式？逆矩阵 38
习题2.4 45
2.5 初等变换与初等矩阵 45
习题2.5 52
2.6 矩阵的秩 54
习题2.6 56
第3章 向量空间 58
3.1 向量的概念及运算性质 58
习题3.1 60
3.2 向量的线性相关性 60
习题3.2 66
3.3 向量组线性相关性的判别 66
习题3.3 71
3.4 向量组的秩与极大无关组 72
习题3.4 77
3.5 向量组的秩与矩阵的秩 78
习题3.5 81
3.6 向量空间的基本概念 82
习题3.6 85
第4章 线性方程组 86
4.1 线性方程组的基本概念 86
4.2 线性方程组有解判定 87
习题4.2 91
4.3 齐次线性方程组解的结构 92
习题4.3 97
4.4 非齐次线性方程组解的结构 98
习题4.4 103
第5章 二次型 105
5.1 预备知识:向量的内积 105
习题5.1 112
5.2 二次型及其标准形 113
习题5.2 118
5.3 方阵的特征值与特征向量 119
习题5.3 126
5.4 相似矩阵 126
习题5.4 129
5.5 实对称阵的相似对角化 129
习题5.5 134
5.6 正定二次型 135
习题5.6 139
第6章 线性空间与线性变换 140
6.1 线性空间的定义 140
习题6.1 142
6.2 线性空间的维数？基与坐标 143
习题6.2 147
6.3 子空间与直和 147
习题6.3 152
6.4 线性变换 152
习题6.4 155
6.5 线性变换的矩阵表示法 155
习题6.5 160
6.6 线性变换的运算 160
习题6.6 162
部分习题参考答案 163
参考文献 170
附录A 线性代数实验指导与MATLAB软件操作 171
《线性代数》实验的内容和方法 171
《线性代数》实验预备知识——MATLAB简介 171
实验一 Matlab的基本运算 184
实验二 行列式与方程组的求解 187
实验三 特征向量与二次型(1) 190
实验四 特征向量与二次型(2) 193
实验五 综合实验 196
附录B 历届考研题线性代数部分内容 198
历届考研题线性代数部分内容参考答案 204
第1章 行 列 式
解方程是代数中一个基本的问题．在中学代数和解析几何里 ,我们用消元法解过一元、二元、三元以及四元一次方程组．但是许多从理论和实际问题中导出的线性方程组常常含有相当多的未知量 ,并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等．本章和第4章是讨论一般的多元一次方程组 ,即线性方程组．为此 ,首先介绍在讨论线性方程组时要用到的一个有力工具 ———行列式．
11 二阶与三阶行列式
用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组．
先看两个简单的例子．
解二元线性方程组
A11 x1＋Ax＝b{ 12211＋Ax2＝b2(111 )
A称为 x的系数 ,它有两个下脚标(x21A指标 )22．前一个脚标 i表示它在第 i个方程 ,后一个
ij
j
脚标 j表示它是第 j个未知量的系数 ,如A21 ,即是第二个方程中第一个未知量的系数．将上
述两个式子两端分别乘以 A相减消去方程组 (中x得()
b1A22－b2A12 22及A12 ,111 )2,A11 A22－A12 A21 x1＝
同样地 ,消去 x得(11 )2＝A11 2－b1 21
1,A22－xbA
因此 ,当D＝A11 A22－A12 A2A1≠0A时,21A12解得
b1A22－A12 b2 A11 b2－A21 b1x1＝ A11 A22－A12 A21 , x2＝ A11 A22－A12 A21
A11 A12
为了便于记忆 ,我们引进记号 A21 A22
＝A11 A22－A12 A21
称为二阶行列式 ,它含有两行、两列．二阶行列式是这样两个项的代数和 :一个是在从左上角到右下角的对角线 (主对角线 )上两个数的乘积 ,取正号 ;另一个是从右上角到左下角的对角线(次对角线 )上两个数的乘积 ,取负号．譬如 ,
2－3
＝2×5－(－3)×1＝13
15
1 12
根据以上记法 b1A22－A12 b2＝ bA
b2 A22 b1 A12 ,D1＝ b2 A22
A11 b2－b1A21＝ A11 b1 ,A11 b1 A21 b2
,则方程组 (111 )的解就可以
,D2＝ A21 b2
如果记 D＝ A11 A12 A21 A22
写成
b1 A12
A11 b1
x1＝ b2 A22
DA21 b2 A11 A12 ＝ D1, x2＝ A11 A12 ＝D2
DA21 A22
A21 A22
像这样用行列式来表示解,规律性强,容易记忆．
例1 解线性方程组
{2x＋y＝7
x－3y＝－2
21
71
27解 这时D＝＝－7,D1＝＝－19,D2＝＝－11,因此,1－3
－2－3
1－2
所给方程组的唯一解是
D1 －1919D2 －1111
x＝ D＝－7＝7, y＝ D＝－7＝7
我们再来解三元线性方程组
ìA11x1＋A12x2＋A13x3＝b1
.
.
íA21x1＋A22x2＋A23x3＝b2 (112)
.
.A31x1＋A32x2＋A33x3＝b3 看看如何用三阶行列式表示它的解．
同上面一样,用消元法,先从前面两式消去x再从后两式消去x得到只含xx2的二元线性方程组,再消去x2,就得到
3,3,1,
(A11 22 33＋AAA13 21 32－11 23 32－12 21 33－13 22 31 x
AA12 23 31＋AAAAAAAAAAAA)1
＝b1A22A33＋A12A23b3＋A13b2A32－b1A23A32－A12b2A33－A13A22b3
时,得当x1系数不为零,即D＝A11A22A33＋A12A23A31＋A13A21A32－A11A23A32－A12A21A33－A13A22A31≠0
D(AA3＋AAAAAA)
x1＝1 b1 22A33＋A12 23b13b2 32－b1 23A32－12b2 33－A13 22b3
同理,可得
x2＝1 AbA1 23 31＋AAbAAbbAAAbA)
D(11 2 33＋bAb13 21 3－11 23 3－121 33－13 231
1()
x3＝DA11A22b3＋A12b2A31＋b1A21A32－A11b2A32－A12A21b3－b1A22A31
这样的式子很烦琐,为了便于记忆,我们引进三阶行列式记号
A11 A12 A13 D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33
＝A11AA33＋AAA31＋A13A21A32－A11A23A32－AAA33－AAA(113)三阶行列式,它22含有三行、2312三列,共有32＝9个数．三阶行12列21式的值13为如22式(113)所示31的六个项的代数和．下面的方法可以帮助记忆三阶行列式值的计算．
或
实线上三个数的乘积构成的三项取正号,虚线上三个数乘积构成的三项都取负号．于D1 D2 D3
是,上面三元线性方程组的解x1,2,3就可以表示成x1＝ D,2＝ D,3＝ D,其中
xxxx
A11 A12 A13 D＝ A21 A22 A23 A31 A32 A33 A11 b1 A13 D2＝ A21 b2 A23 A31 b3 A33
这种解结构与前面二阶行列式的解的结构类似．ì2x－y＋z＝0,
.
.
例2 解线性方程组í3x＋2y－5z＝1,
.
.x＋3y－2z＝4 解 此时
2－11D＝
32－513－2
＝2×2×(－2)＋(－1)×(－5)×1＋1×3×3－1×2×1－(－5)×3×2－(－2)×3
×(－1)＝28 0－11D1＝
12－543－2
b1 A12 A13
, D1＝ b2 A22 A23 b3 A32 A33 A11 A12 b1
, D3＝ A21 A22 b2 A31 A32 b3
＝13, D2＝所以 x＝D1＝13y＝D2＝47z＝D3＝21＝3
20 12 －10
31 －5＝47, D3＝3 21＝21
14 －21 34
D28 ,D28 ,D284
从上面二阶、三阶行列式的记法中可以看出行列式是一个数 ,它们都是一些乘积的代数和,而每一项乘积都是由行列式中位于不同行且不同列的数构成 (二阶行列式每一乘积项有2个因子 ,三阶行列式每一乘积项有3个因子 );并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成 (二阶行列式有2!项乘积 ,三阶行列式有3!项乘积 );此外 ,每一项乘积都带有符号,这个符号的确定需要用到逆序数．
习 题 11
1．计算下列二阶、三阶行列式
123
12
21
; (2)－11
;
(1)13
; (3)312
201(4)030
; 603
A11 A12 A13
2．证明 :A21 A22 A23
A31 A32 A33
111 (5)Abc ;
A2 b2 c2
A22 A23
＝A11
A32 A33
－A12
231 x yx＋y
．
(6) yx＋yx
x＋y
A21 A23 A31 A33
＋A13
xy
A21 A22
．
A31 A32
12 排列 逆序
我们已经学过 ,由1,n这n个数组成的一个有序数组称为一个 n级(排列 ,并
2,,阶)
n
且这样的 n个数共可以组成 Pn＝n!个不同的排列．2,,
在数学中把考察的对象 ,例如 ,上面的1,n称为元素．对于 n个不同的元素 ,规定各个元素之间有一个标准次序 ,特别地 ,我们把1,n这n个自然数规定由小到大的标准次序称为自然排列 (一般也称为标准排列 )．2,,
定义1 在一个 n阶排列中 ,如果一个较大的数排在一个较小的数的前面 ,则称这两个数构成一个逆序．一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列 ,逆序数为偶数的排列称为偶排列．
5
例如 ,由数字1,2,3,4,5共可以组成 P5＝5!＝120种不同的排列 ,45321和23514是其中的两个排列 ,在45321中43 ,42 ,41 ,53 ,52 ,51 ,32 ,31 ,21是逆序 ,逆序数为9,为奇排列,23514的逆序为21 ,31 ,51 ,54 ,为偶排列．显然 ,此时12345也为其中的一个排列 ,它是自然排列 ,其逆序数为0,也算作偶排列．
我们把一个排列的逆序数记为 τ,如τ(45321 )＝9．
把一个排列中某两个数的位置交换 ,而其余的数不动 ,就得到另一个排列．这样的一个变换称为一个对换．例如 ,经过1,2对换 ,排列2431就变成了1432 ,排列2134就变成了1234．显然 ,如果连续施行两次相同的对换 ,那么 ,排列就还原了．
定理1 对换改变排列的奇偶性．
这就是说 ,经过一次对换 ,奇排列变成偶排列 ,偶排列变成奇排列．
证 (Ⅰ)先看一个特殊的情形 ,对换的两个数在排列中是相邻的情形．排列
A,,A
b经过 Ab对换变成 b,这里 “”显然 ,,而Ab两
表示那些不动的数 ,它们的逆序数经过 Ab对换后并不改变 ,,元素的逆序数改变为 :当A＜b时,A的逆序数增加1,当A＞b,
经对换后 ,而b的逆序数不变 ;经对换后 ,A的逆序数不变而 b的逆序数减小1．所以不论增加1还是减少1,其逆序数的奇偶性都改变．
(Ⅱ)再看一般情形
设排列为
Aiiib, 11 ),,,1,2,,s,(2
经Ab对换后 ,排列 (121 )变为 b,1,2 iA(,ii,,s,, 122 )不难看出 ,这样一个对换可以经过一系列的相邻对换来实现 ,从式 (121 )出发 ,把b与
i对换 ,再与 i1对换 ,,即把 b经s＋1次相邻位置的对换 ,式(121 )变为 Ai1 s123 )
ss-
,b,,,i, (再把式 (123 )中A一位一位向右 s次相邻对换 ,即得式 (122 ),这样 ,从式 (121 )变到式(122 )共经过了2s＋1次相邻对换 ,而2s＋1为奇数 ,故这样对换的最终结果还是改变奇偶性．定理得证．
例 求排列24351的逆序数．解 排列24351中,1的逆序数是4个;2的逆序数是0个;3的逆序数是1个;4的逆序数是0个;5的逆序数是0个,所以排列24351的逆序数是 τ(24351 )＝5,为奇排列．推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 ,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．证 由定理1知对换次数就是排列奇偶数的变化次数 ,而标准排列为偶排列 (逆序数为0),因此知 ,推论成立．推论2 由1,n这n个数构成的所有排列中 (共n!个),奇偶排列各占一半 ,即各
为n2!个．2,,
证明留作练习 ,请读者自证．
习 题 12
1按照顺序从小到大为标准顺序 ,求下列各排列的逆序数 ,并决定其奇偶性．
(1)4,1,3,2,5;
(2)2,4,5,3,1,8,7,6;
(3),－n2,,2,
nn1,－3,1;
(4)6,2,7,4,5,3,1;
(5)(n－n2),,2,n
1),(－3,1,
2证明:2,,奇偶排列各半．
由1,n这n个数构成的n!个排列中,
,,,,
.3假设n个数码的排列iii的逆序数为k,n,n1 2,1的逆序数．
1,2 n求排列ii－ii
13 n阶行列式
定义1 设有n2个数,排成n行n列
A11 A12 A1n
A21 A22 A2n
.
nn n
积,并冠以符号 (－1)
作出表中位于不同行且不同列的An1个A数的乘Aτ2,得到形如
τ
(－1)1j12j2 Anjn的项,其中j1,,,j是1,n的排列,τ为这个排列的逆序数．由
AAjn2,,于这样的排列共有n!个,因而形如(2－1)1 AjAj的项共有n!个,所有这n!项的代
τAj1 22 nn
数和 ∑ (－1)AAA称为n阶行列式,记作
τ1j12j2 njn
A11 A12 A1n D＝ A21 A22 A2n
. An1 An2 An
τ
＝ ∑ (－1)A1 A2 An
jj1 j2 jnj1j2 n
简记为D＝Δ()(或记为Dt())数A称为行列式 Δ()中的元素,或简称为元．这
A＝eiii
idA．A里,∑ 表示对j,,所有n级排列求和．
jjjj
jj1,j2 jn
1j2 n
当n＝1时,规定 A＝A．当n＝2,3时,按此定义与在1．1节中用对角线法则定义的二、三阶行列式,显然是一致的．注 四阶或四阶以上的行列式值的计算不能像二、三阶行列式那样直接用对角线法则计算．例1 计算行列式
30－10
020－1
0130－3001
解 这是一个四阶行列式．计算的结果应该为4!＝24项的代数和,但是这个行列式的零元素较多,所以不为零的项就不多了．第一行能取A11＝3和A13＝－1,第二行仅能取A22＝2和A24＝－1．当取A11＝A22＝第三行必取A33＝3．第四行也仅有一种取法A44＝1．故
3,2时,这个行列式有
33 44＝3×2×3×1＝18 A13A24A32A4A111＝(A22A－1)A×(－1)×1×(－3)＝－3
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